Як діагоналізувати матрицю Зауважимо, що якщо у матриці n×n рівно n різних власних значень, вона диагонализируема. Власні значення фігуруватимуть у діагоналізованій формі A, тому при знаходженні власних значень матриця A діагоналізується.
Діагональна матриця квадратна матриця, всі елементи якої, що стоять поза головною діагоналі, дорівнюють нулю: . . Ранг діагональної матриці дорівнює кількості ненульових елементів, що знаходяться на головній діагоналі.
Матриця лінійного оператора А, що діє в лінійному просторі, в даному базисі є діагональною тоді і тільки тоді, коли всі вектори цього базису є власними для оператора А.
Якщо добуток двох симетричних матриць є симетричною матрицеюці матриці комутують.
Теорема діагоналізації Матриця A розміру n × n діагоналізована тоді і тільки тоді, коли A має n лінійно незалежних власних векторів .
Отже, матриця діагоналізована тоді і тільки тоді, коли її нильпотентна частина дорівнює нулю . Іншими словами, матриця діагоналізується, якщо кожен блок у її жордановій формі не має нильпотентної частини; тобто кожен "блок" є матрицею один за одним.
Якщо всі матриці квадратні, то діагональна матриця тоді і тільки тоді, коли вона трикутна та нормальна . Матриця діагональна тоді і лише тоді, коли вона є як верхньо-, так і нижньо-трикутною.
Матрицю лінійного оператора можна привести до діагонального вигляду лише тоді, коли кратності власних значень збігаються з кількістю фундаментальних рішень однорідної СЛАУ (3), записаної для кожного власного значення.